Σάββατο, 18 Ιουνίου 2016

Γενικές αρχές της θεωρίας της βαρύτητας του Einstein*



του Vladimir Fock

Το χρόνο που πέρασε –το 1966- πολλές ημερομηνίες συνδέθηκαν με το όνομα του Einstein: η 10η επέτειος του θανάτου του, η 60ή επέτειος της θεωρίας της σχετικότητας (που συνήθως ονομάζεται «ειδική») και η 50ή επέτειος της θεωρίας του για τη βαρύτητα: το Νοέμβριο του 1915 ο Einstein έκανε την πρώτη ανακοίνωση πάνω σ΄ αυτό το θέμα στην Ακαδημία Επιστημών του Βερολίνου.

Η θεωρία της βαρύτητας του Einstein είναι μια θεωρία εντυπωσιακής τελειότητας και ομορφιάς. Συμφωνεί με την παρατήρηση σ΄ όλες τις περιπτώσεις που επιδέχεται πειραματική επαλήθευση. Ανοίγει απεριόριστους ορίζοντες για τη γνώση του σύμπαντος. Η θεωρία του Einstein είναι συνάμα θεωρία της βαρύτητας και θεωρία του χωρόχρονου˙ μπορεί κάλλιστα να ονοματιστεί χρονογεωμετρική θεωρία της βαρύτητας.

Ωστόσο το παραδοσιακό της όνομα δεν είναι θεωρία της βαρύτητας, αλλά «γενική θεωρία της σχετικότητας». Η ονομασία αυτή είναι εντελώς ακατάλληλη και παραπλανητική. Είναι λοιπόν ανάγκη να κάνουμε μερικές παρατηρήσεις σχετικά με το όνομα της θεωρίας.

Η θεωρία του Einstein του 1905 –η λεγόμενη ειδική θεωρία της σχετικότητας- είναι, όπως και η θεωρία του 1915, μια θεωρία του χώρου και του χρόνου, και η ονομασία «χρονογεωμετρία», που προτάθηκε από το Δανό φυσικό Fokker, χαρακτηρίζει την ουσία της θεωρίας, πολύ καλύτερα απ΄ ό,τι το παραδοσιακό: «θεωρία της σχετικότητας». Είναι αλήθεια ότι η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου, που αφορά την ομοιόμορφη κίνηση, παίζει ουσιαστικό ρόλο σ΄ αυτή τη θεωρία. (Εννοώ τη γενικευμένη διατύπωση αυτής της αρχής, όπως εκφράζεται από τους μετασχηματισμούς του Lorentz, στους οποίους λαμβάνεται υπόψη η πεπερασμένη τιμή της ταχύτητας του φωτός.) Αυτό δικαιολογεί ως ένα βαθμό την ονομασία «θεωρία της σχετικότητας» (χωρίς ωστόσο το επίθετο «ειδική», μια και οι μετασχηματισμοί του Lorentz είναι οι πιο γενικοί μετασχηματισμοί που εκφράζουν την έννοια της σχετικότητας στο χωρόχρονο). Αλλά η ουσία της θεωρίας της σχετικότητας βρίσκεται στα αξιώματα που αφορούν τις ιδιότητες του χώρου-και-χρόνου, και τα αξιώματα αυτά έχουν απόλυτο χαρακτήρα. Βεβαιώνουν καταρχήν την ύπαρξη μιας οριακής ταχύτητας για τη διάδοση οποιασδήποτε μορφής δράσης, και, κατά δεύτερο λόγο, την ομοιομορφία του χώρου και του χρόνου.

Ωστόσο, το θέμα της ανακοίνωσής μου δεν είναι η θεωρία του Einstein του 1905, αλλά η θεωρία του 1915 –η θεωρία του για τη βαρύτητα- και η ονομασία «γενική σχετικότητα» είναι ακόμα πιο παραπλανητική από την ονομασία «σχετικότητα» για τη θεωρία του 1905. Κι αυτό, γιατί η έννοια της σχετικότητας δεν γενικεύεται, αλλά περιορίζεται στη λεγόμενη «γενική» θεωρία. Αυτό που γενικεύεται δεν είναι η έννοια αυτή, αλλά η έννοια της γεωμετρίας.

Μπορεί κανείς να ρωτήσει: είναι ανάγκη να δίνεται τόσο προσοχή στο όνομα μιας φυσικής θεωρίας; Το όνομα, έστω και ακατάλληλο, δεν αλλάζει τίποτα. Δε μπορώ να συμφωνήσω με αυτήν την αντίρρηση. Το όνομα μιας θεωρίας, ή γενικά μιας ανακάλυψης, ενέχει συχνά μιαν ερμηνεία της θεωρίας ή της ανακάλυψης. Ένα ακατάλληλο όνομα αντανακλά μια λανθασμένη ερμηνεία. Τέτοιο είναι το όνομα Δυτικές Ινδίες, που έδωσε ο Κολόμβος στα νησιά που βρίσκονται κοντά στην Αμερικανική ήπειρο˙ αυτό οφείλεται σε σφάλμα του εξερευνητή. Αλλά ενώ κανείς δεν ισχυρίζεται ότι οι Δυτικές Ινδίες είναι το δυτικό τμήμα των Ινδιών, πολλοί έχουν ακόμα τη γνώμη ότι η γενική σχετικότητα γενικεύει την έννοια της σχετικότητας. Για να αποφύγουμε μια τέτοια παρανόηση, είναι ανάγκη να είμαστε πιο προσεκτικοί με τις ονομασίες. Θα ονομάσω λοιπόν τη θεωρία του Einstein «χρονογεωμετρική θεωρία της βαρύτητας», ή απλά, «θεωρία της βαρύτητας».

Χρησιμοποίησα τη λέξη «σφάλμα του εξερευνητή» και τόλμησα να συσχετίσω αυτές τις λέξεις με τον Einstein. Αυτό είναι δυνατό να προκαλέσει διαμαρτυρίες. Μπορεί να πει κανείς: επιτρέπεται να του κάνουμε επικρίσεις; Δεν είναι μια μεγαλοφυΐα, πέρα από κάθε κριτική;

Δεν είμαι σύμφωνος μ΄ αυτή την άποψη. Είμαι εναντίον κάθε λατρείας του προσώπου του και δεν αποδέχομαι το δόγμα πως δεν μπορεί να κάνει λάθη. Τα επιστημονικά επιτεύγματα του Einstein είναι εξαιρετικά μεγάλα. Αλλά πιστεύω ότι μια καθαρή και χωρίς προκαταλήψεις κριτική των λαθών του, όχι μόνον επιτρέπεται, αλλά είναι εντελώς σύμφωνη με το πνεύμα του ίδιου του Einstein, που σε πολλές περιπτώσεις είπε ότι δεν μπορεί κανείς να ανέχεται προκαταλήψεις, όσο ισχυρές και ριζωμένες και αν είναι.

Ένα ελεύθερο κριτικό πλησίασμα και μια συνεπής λογική ανάλυση είναι απαραίτητα για την ορθή κατανόηση οποιασδήποτε φυσικής θεωρίας. Είναι ιδιαίτερα αναγκαία για την κατανόηση μιας θεμελιακής θεωρίας, όπως η θεωρία του Einstein. Μια τέτοια θεμελιακή θεωρία μπορεί να σημαίνει περισσότερα από τις προθέσεις του δημιουργού της. Μια θεωρία μπορεί, ας πούμε, να είναι περισσότερο σοφή από τον άνθρωπο που τη δημιούργησε.

Στην ιστορία των φυσικών επιστημών συναντούμε συχνά καταστάσεις, όπου ο δημιουργός μιας σπουδαίας φυσικής θεωρίας δεν κατανοεί ορθά τις αρχές της. Μπορούμε να αναφέρουμε τον Maxwell, που σκεφτόταν με μηχανιστικές έννοιες, και που θεωρούσε τις πεδιακές εξισώσεις του σαν έκφραση των νόμων της παλμικής κίνησης ενός ελαστικού μέσου (του αιθέρα). Μπορούμε επίσης να αναφέρουμε τον De Broglie και τον Schrödinger, οι οποίοι σκέφτονταν με όρους κλασικής πεδιακής θεωρίας. Μια τέτοια λειψή κατανόηση δεν είναι τόσο παράδοξη, όσο φαίνεται από πρώτη ματιά. Ο δημιουργός μιας θεωρίας, που έχει καταξιωθεί από το πείραμα, τείνει να θεωρεί αυτή τη θεωρία, όχι μόνο σαν το τελικό σημείο μιας καθορισμένης αλυσίδας συλλογισμών, αλλά και σαν δικαίωση κάθε βήματος, κάθε κρίκου αυτής της αλυσίδας. Αλλά ο δρόμος προς την ανακάλυψη είναι κάτι το εντελώς διαφορετικό από μια καθαρά λογική διαδικασία. Αυτό εκφράζεται κάλλιστα με τα ίδια τα λόγια του Einstein, «das Erfinden ist kein Werk des logischen Denkens», δηλαδή, «η ανακάλυψη δεν είναι αποτέλεσμα μιας καθαρά λογικής συλλογιστικής». Είναι λοιπόν πολύ πιθανόν, μια συλλογιστική που οδήγησε σε μια ορθή θεωρία να περιέχει λογικά χάσματα, ή ακόμα και λάθη, τα οποία αμαυρώνουν το αληθινό νόημα της θεωρίας.

Όταν ο Einstein δημιούργησε τη θεωρία της βαρύτητας, η κυρίαρχη ιδέα του ήταν η ιδέα της «γενικής σχετικότητας». Είναι δύσκολο να δούμε τι εννοούσε μ΄ αυτό τον όρο ο Einstein. Ωστόσο μιλούσε για μια «αρχή γενικής σχετικότητας», σαν ένα είδος γενίκευσης της αρχής της σχετικότητας του Γαλιλαίου, που ονομάζεται «ειδική» και εφαρμόζεται στην ομοιόμορφη κίνηση. Ίσως ο Einstein συσχέτιζε με την ιδέα του για τη «γενική σχετικότητα» και άλλες φυσικές δυνατότητες, κι όχι μόνο τη λύση του προβλήματος της σχετικής κίνησης. Στις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του μιλά για την απογοήτευσή του όταν αντιλήφθηκε ότι η ιδέα του για τη «γενική σχετικότητα» κατέληξε μόνο σε μια θεωρία της βαρύτητας. (Ο όρος «σε τίποτα περισσότερο», που χρησιμοποιεί ο Einstein για μια τόσο όμορφη θεωρία, αξίζει να σημειωθεί.) Βλέπει κανείς πόσο προσφιλής ήταν η ιδέα της γενικής σχετικότητας στον Einstein.

Εκτός από τη «γενική αρχή της σχετικότητας», ο Einstein θεωρούσε την «αρχή της ισοδυναμίας» (με την έννοια της ισοδυναμίας ανάμεσα στη βαρύτητα και την επιτάχυνση) ως συστατικό μέρος της θεωρίας του.

Θα αναλύσουμε τις δυό αυτές αρχές και θα δούμε αν πράγματι μπορούν να θεωρηθούν ως τα θεμέλια της θεωρίας της βαρύτητας του Einstein. Η απάντησή μας θα είναι αρνητική: θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η γενική αρχή της σχετικότητας στερείται φυσικού νοήματος και ότι η αρχή της ισοδυναμίας είναι αυστηρά τυπική και ισχύει μόνο κατά προσέγγιση. Το πραγματικό θεμέλιο της θεωρίας της βαρύτητας του Einstein αποτελείται από άλλες αρχές.

Για να αρχίσουμε την έρευνά μας, πρέπει να κάνουμε πρώτα πιο ακριβή την έννοια του όρου «αρχή της σχετικότητας».

Η φυσική αρχή της σχετικότητας βεβαιώνει την ύπαρξη αντίστοιχων διαδικασιών σε δυό εργαστήρια (συστήματα αναφοράς) σε σχετική κίνηση το ένα ως προς το άλλο. Αν ισχύει αυτή η αρχή, τότε σε κάθε δυνατό φυσικό φαινόμενο, που συμβαίνει στο ένα εργαστήριο, αντιστοιχεί ένα άλλο φαινόμενο, της ίδιας φύσης, στο άλλο εργαστήριο. Με άλλα λόγια, η φυσική αρχή της σχετικότητας βεβαιώνει την ταυτότητα των φυσικών συνθηκών στα δυό εργαστήρια. Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου, η οποία ισχύει για την ευθύγραμμη και ομοιόμορφη κίνηση, αντιστοιχεί ακριβώς σ΄ αυτόν τον ορισμό. (Αυτό δόθηκε πολύ παραστατικά από τον ίδιο τον Γαλιλαίο, που περίγραψε φαινόμενα στις καμπίνες δύο πλοίων.) Η αρχή σχετικότητας της θεωρίας του Einstein του 1905 αντιστοιχεί και σ΄ αυτόν τον ορισμό. Στη διατύπωση αυτής της αρχής από τον Einstein, λαμβάνεται υπόψη η πεπερασμένη τιμή της ταχύτητας του φωτός (ως οριακή ταχύτητα) αλλά ισχύει, όπως και στην αρχή του Γαλιλαίου, μόνο σε ομοιόμορφη σχετική κίνηση δυό αδρανειακών συστημάτων. Η μαθηματική της έκφραση είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz, των οποίων ειδική περίπτωση είναι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου.

Βλέπουμε λοιπόν ότι η αρχή σχετικότητας των Γαλιλαίου-Lorentz ισχύει μόνο για αδρανειακά συστήματα. Για επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς η φυσική αρχή της σχετικότητας δεν ισχύει εξαιτίας της διαφοράς των φυσικών συνθηκών. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα δυό συστημάτων αναφοράς σε επιταχυνόμενη κίνηση: τη Γη (τη γήινη Σφαίρα) και τον Σπούτνικ (έναν τεχνητό δορυφόρο). Ένα ρολόι που κινείται με βάρη είναι ένα πολύ λεπτό όργανο για τη μέτρηση του χρόνου στη Γη, αλλά δεν λειτουργεί καθόλου στον Σπούτνικ. Ακόμα περισσότερο: δεν υπάρχει φαινόμενο (φυσική διεργασία) πάνω σε κάποιο Σπούτνικ, που θα αντιστοιχούσε στην κίνηση ενός τέτοιου ρολογιού πάνω στη Γη. Το παράδειγμα αυτό αρκεί για να δείξει το αδύνατο μιας γενικής αρχής σχετικότητας, όταν αυτή θεωρηθεί ως φυσική αρχή.

Στη διατύπωση της φυσικής αρχής της σχετικότητας χρησιμοποιήσαμε τον όρο «σύστημα αναφοράς» με τη φυσική έννοια (ως χαρακτηριστικό της θέσης και της κίνησης ενός φυσικού εργαστηρίου ως συνόλου). Αλλά ακόμα κι αν χρησιμοποιήσουμε τον όρο «σύστημα αναφοράς», με μια έννοια περισσότερο μαθηματική, η έννοια αυτή δεν ταυτίζεται διόλου με την έννοια του συστήματος συντεταγμένων. Σε ένα και το αυτό σύστημα αναφοράς αντιστοιχούν εν γένει διάφορα συστήματα συντεταγμένων.

Ας θεωρήσουμε τώρα την έννοια της συμμεταβλητότητας (covariance). Η συμμεταβλητότητα των διαφορικών εξισώσεων σε σχέση με τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων χρησιμοποιείται πράγματι στη διατύπωση της φυσικής αρχής της σχετικότητας, αλλά δεν συμπίπτει με αυτή την αρχή. 

Δεν είναι όλες οι ομάδες μετασχηματισμών που συνδέονται με τη φυσική σχετικότητα. Για να υπάρχει μια τέτοια σύνδεση, ο μετασχηματισμός οφείλει να επιδέχεται μια «φυσική αντιστάθμιση». Εννοούμε τη δυνατότητα να μεταβάλλουμε τις αρχικές συνθήκες (ή, γενικότερα, τις φυσικές περιστάσεις) με τρόπο ώστε το νέο φαινόμενο, εκφραζόμενο σε νέες συντεταγμένες, να έχει ακριβώς την ίδια μορφή με το αρχικό φαινόμενο στις αρχικές συντεταγμένες. Έτσι, στην περίπτωση στροφής των αξόνων, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κίνηση κατά μήκος ενός από τους παλαιούς άξονες, με μια κίνηση κατά μήκος του αντίστοιχου νέου άξονα. Στην περίπτωση των μετασχηματισμών Lorentz στη λεγόμενη «ειδική» θεωρία της σχετικότητας, υποτίθεται πως είναι δυνατή μια φυσική αντιστάθμιση για όλα τα πεδία που εισάγονται ρητά. Ως προς το πεδίο του μετρικού τανυστή, δεν είναι αναγκαία κάποια αντιστάθμιση, μια και οι συνιστώσες αυτού του τανυστή παραμένουν αμετάβλητες (υπάρχει μια ομάδα κινήσεων).

Στην περίπτωση μετασχηματισμών Lorentz ανάμεσα στις αρμονικές συντεταγμένες της θεωρίας της βαρύτητας, ο μετρικός τανυστής δεν είναι αμετάβλητος, αλλά οι μεταβολές του μπορούν να αντισταθμιστούν με μια αλλαγή στην κατανομή και στην κίνηση των μαζών. Έτσι γίνεται δυνατή μια φυσική αντιστάθμιση, και διατηρείται η φυσική σχετικότητα.

Στην περίπτωση αυθαίρετων μετασχηματισμών συντεταγμένων, γίνεται αδύνατη μια φυσική αντιστάθμιση. Τέτοιοi μετασχηματισμοί παύουν λοιπόν να έχουν οποιαδήποτε σύνδεση με τη φυσική σχετικότητα. Επομένως η «γενική αρχή της σχετικότητας» του Einstein (νοούμενη ως απαίτηση γενικής συμμεταβλητότητας) είναι καθαρά τυπομορφική, και δεν συνδέεται καθόλου με τη φυσική σχετικότητα. Η τυπική αυτή αξίωση μπορεί να ικανοποιηθεί με κατάλληλη επιλογή φορμαλισμού, όπως οι λαγκρανζιανές εξισώσεις δεύτερου είδους, σε οποιαδήποτε φυσική θεωρία, ακόμα και στη μη ρελατιβιστική μηχανική.

Ας θεωρήσουμε τώρα την αρχή της ισοδυναμίας. Η αρχή αυτή χρησιμοποιεί (ή, για αν είμαστε πιο ακριβείς, κακομεταχειρίζεται) την έννοια της δύναμης. Αλλά η έννοια αυτή έχει καθορισμένο νόημα μόνο σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, όπου μπορεί να οριστεί σύμφωνα με τον Νεύτωνα. Αν, παρ΄ όλα αυτά, γράψουμε τις εξισώσεις της κίνησης σ΄ ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων, τότε ο όρος «δύναμη» δεν μπορεί να εφαρμοσθεί σε χωριστούς όρους αυτών των εξισώσεων. Στην αντίθετη περίπτωση, η έννοια χάνει οποιοδήποτε καθορισμένο νόημα. Έτσι η λεγόμενη «φυγόκεντρη δύναμη» δεν είναι διόλου δύναμη. Αυτός ο καθορισμός είναι η βάση της αρχής της ισοδυναμίας του Einstein, που συμποσούται σε μια κινηματική ερμηνεία της βαρύτητας.

Η αρχή της ισοδυναμίας ανάμεσα στην επιτάχυνση και τη βαρύτητα είναι καθαρά τυπική, και ισχύει μόνο κατά προσέγγιση. Μπορεί να είναι χρήσιμη (και αποδείχτηκε χρήσιμη) για ορισμένες κινηματικές αναλογίες και για μερικές ευρηματικές (heuristic) θεωρήσεις, αλλά δε μπορεί σε καμιά περίπτωση να αποτελέσει τη λογική βάση της θεωρίας της βαρύτητας. Πρέπει να προσθέσουμε ότι η θεωρία της βαρύτητας του Einstein δεν είναι ούτε τοπική, ούτε κινηματική.

Βλέπουμε ότι αν η «γενική αρχή της σχετικότητας» νοηθεί με τη φυσική έννοια, τότε δεν υπάρχει καθόλου και αν εννοούμε με αυτήν την τυπική μαθηματική απαίτηση να είναι οι εξισώσεις γενικά συμμεταβλητές, τότε δεν είναι φυσική. Βλέπουμε ακόμη ότι η αρχή ισοδυναμίας είναι τοπική και κινηματική. Και τίθεται το ερώτημα: Πως μπόρεσε ο Einstein να θεωρήσει αυτές τις αρχές ως θεμέλια της θεωρίας του για τη βαρύτητα;

Μια γενική απάντηση μπορεί να βρεθεί στα λόγια του Einstein που ήδη παραθέσαμε: «μια ανακάλυψη δεν είναι αποτέλεσμα καθαρά λογικού συλλογισμού». Η διαίσθηση της μεγαλοφυΐας μπορεί να γεφυρώσει λογικά χάσματα. Αλλά όταν μια θεωρία διατυπωθεί οριστικά, τα χάσματα αυτά πρέπει να αναλύονται και να αποφεύγονται.

Στην προσπάθειά του να εφαρμόσει την έννοια της σχετικότητας σε μή-ομοιόμορφες κινήσεις, ο Einstein εισήγαγε σιωπηρά δυό ουσιαστικές αλλαγές στην ερμηνεία των εκφράσεων «σύστημα αναφοράς» και «αρχή της σχετικότητας» (βλέπε πίνακα).

Πίνακας

Διαφορετικές ερμηνείες της έννοιας της σχετικότητας
Φυσική σχετικότητα =
= ύπαρξη αντίστοιχων φαινομένων
= ταυτότητα φυσικών συνθηκών


            σε δυό εργαστήρια
Ταυτόσημη μορφή των φυσικών νόμων
Ταυτόσημη μορφή των διαφορετικών εξισώσεων
(πεδιακές εξισώσεις και εξισώσεις κίνησης)


            σε δυό συστήματα αναφοράς
Συμμεταβλητότητα των διαφορικών εξισώσεων
            σε δυό συστήματα συντεταγμένων


Κατ΄ αρχήν ο Einstein έδωσε σιωπηρά ένα νέο νόημα στον όρο «σύστημα αναφοράς». Το συνηθισμένο νόημα (στην προρελατιβιστική φυσική, καθώς και στη θεωρία του Einstein του 1905) αφορά ένα υλικό σύστημα ή ένα εργαστήριο. Το νέο νόημα που εισήγαγε ο Einstein αφορά ένα χωροχρονικό σύστημα συντεταγμένων. Αν δεχτεί κανείς τη νέα αυτή ερμηνεία, τότε χάνει οποιαδήποτε σύνδεση με τη φυσική αρχή της σχετικότητας. Αν επιχειρήσει κανείς να διατηρήσει αυτή τη σύνδεση, και να θεωρήσει εργαστήρια σε αυθαίρετη κίνηση (η οποία ωστόσο σπάνια είναι δυνατή στη γενική περίπτωση), τότε οφείλει να δεχτεί ότι οι φυσικές συνθήκες στα διάφορα εργαστήρια δεν είναι οι ίδιες (λ.χ., τα σώματα μέσα σε έναν Σπούτνικ χάνουν το βάρος τους). Αλλά αυτή η παραδοχή συμποσούται στη διατύπωση ότι δεν υπάρχει φυσική σχετικότητα στη γενική περίπτωση.

Για να σώσει την έννοια της «αρχής της σχετικότητας», ο Einstein άρχισε να ερμηνεύει αυτό τον όρο όχι με φυσικό, αλλά με μαθηματικό τρόπο. Πρώτα τον ερμήνευσε (κάπως συγκεχυμένα) ως «ταυτόσημη μορφή των φυσικών νόμων σε δυό συστήματα αναφοράς». Ύστερα αντικατάστησε τους φυσικούς νόμους με διαφορικές εξισώσεις (εξισώσεις κίνησης και πεδιακές εξισώσεις που δεν περιλαμβάνουν αρχικές και οριακές συνθήκες) και, επίσης, αντικατάστησε τα συστήματα αναφοράς με συστήματα συντεταγμένων. Μ΄ αυτή την αλλαγή στο νόημα των χρησιμοποιούμενων όρων, φαινόταν να διατηρείται η ιδέα μιας «γενικής σχετικότητας». Αλλά ο τελευταίος αυτός όρος δεν σήμαινε, σε τελευταία ανάλυση, τίποτα περισσότερο από μια απλή «συμμεταβολή των διαφορικών εξισώσεων για γενικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων». Και η απαίτηση αυτή ισοδυναμεί με τη πρόταση ότι διαφορικές εξισώσεις [που γράφονται] με διάφορες ανεξάρτητες μεταβλητές, πρέπει να είναι μαθηματικά ισοδύναμες και όχι αντιφατικές. Η πρόταση αυτή είναι εντελώς προφανής, αλλά η φύση της είναι καθαρά λογική και δεν έχει το χαρακτήρα φυσικού νόμου (αυτό αποδείχτηκε ήδη το 1929, από τον Kretschmann).

Βλέπουμε ότι η αρχή σχετικότητας των Γαλιλαίου – Lorentz που αποτελεί συστατικό μέρος της θεωρίας του Einstein του 1905, με τις αναρίθμητες φυσικές συνέπειές της, μετατρέπεται μ΄ αυτού του είδους τη «γενίκευση» σε μια καθαρά τυπική λογική απαίτηση, χωρίς άμεση σχέση με τους φυσικούς νόμους.

Θα διατυπώσουμε τα αποτελέσματά μας με μια σύντομη φράση: Η φυσική σχετικότητα δεν μπορεί να είναι γενική και η γενική σχετικότητα δεν μπορεί να είναι φυσική.

Είναι πραγματικά τραγικό το ότι ο Einstein δεν δέχτηκε αυτό το γεγονός. Αυτό σχετίζεται άμεσα με την αποτυχία όλων των προσπαθειών του Einstein να οικοδομήσει μια ενιαία θεωρία του ηλεκτρομαγνητικού και του βαρυτικού πεδίου. Και στις άκαρπες αυτές προσπάθειες αφιερώθηκαν περισσότερο από δυό δεκαετίες από την πολύτιμη ζωή του Einstein! Το ίδιο γεγονός εμπόδισε τον Einstein να εκτιμήσει ορθά τις δικές του, ωραίες εξισώσεις της βαρύτητας. Ο τανυστής ορμής – ενέργειας, στη δεξιά μεριά αυτών των εξισώσεων, φάνηκε στον Einstein όχι σαν κάτι που πραγματικά ανήκει στη θεωρία του, αλλά σαν κάτι το ξένο. Ο Einstein μάλιστα είπε (στις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του) ότι δεν αμφέβαλε ούτε στιγμή ότι οι εξισώσεις του με τον τανυστή ορμής – ενέργειας ήταν απλώς προσωρινές. Στις έρευνές του, που αφορούν τη συναγωγή της εξίσωσης της κίνησης από την εξίσωση της βαρύτητας, ο Einstein προσπάθησε να μη χρησιμοποιήσει καθόλου τον τανυστή ορμής – ενέργειας. Αυτό οδήγησε σ΄ έναν ουσιαστικό περιορισμό των αποτελεσμάτων του. Οι εξισώσεις κίνησης που πέτυχε περιορίζονταν στην περίπτωση σημειακών μαζών. Η γενικότερη περίπτωση μαζών πεπερασμένου μεγέθους με καθορισμένη εσωτερική δομή, και όχι κατ΄ ανάγκη μη-περιστρεφόμενων και σφαιρικών, ερευνήθηκε μόνο στις εργασίες μου και στις εργασίες των μαθητών μου.

Ο Einstein επιχείρησε επίσης να θεωρήσει τα στοιχειώδη σωμάτια ως ανωμαλίες (singularities) κάποιου κλασικού πεδίου, και δεν ακολούθησε το δρόμο που άνοιξε η κβαντική μηχανική. Θα έπρεπε να σημειωθεί το παράδοξο, ότι ο Einstein, που πρώτος εισήγαγε την έννοια των φωτονίων και τις a priori πιθανότητες στη φυσική, δεν αποδέχτηκε ποτέ την κβαντική μηχανική. Ο N. Bohr, στις «Συζητήσεις με τον Einstein», γράφοντας για το Συνέδριο του Solvay το 1927, κάνει τις ακόλουθες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις: 

«Θυμάμαι επίσης πως στο αποκορύφωμα της συζήτησης, ο Ehrenfest, με το συμπαθητικό τρόπο που είχε να πειράζει τους φίλους του, υπαινίχθηκε πειρακτικά τη φαινομενική ομοιότητα ανάμεσα στη στάση του Einstein και στη στάση των αντίπαλων της θεωρίας της σχετικότητας».

Η αιτία της αρνητικής στάσης του Einstein απέναντι στην κβαντική μηχανική φαίνεται να είναι η μη αποδοχή της ιδέας της «σχετικότητας ως προς τα μέσα παρατήρησης», που, ωστόσο, μπορεί να θεωρηθεί σαν μια κοινή βάση, τόσο της κβαντικής μηχανικής, όσο και της θεωρίας της σχετικότητας.

Η αντιφατική στάση του Einstein στα θεμελιακά αυτά προβλήματα της νεότερης φυσικής οδηγεί στο συμπέρασμα πως βρισκόταν σε λανθασμένο δρόμο στις δυό ή, ακόμα, στις τρεις τελευταίες δεκαετίες της ζωής του.

Ας επιστρέψουμε τώρα στις ιδέες που φαινόταν στον Einstein ότι αποτελούν τα θεμέλια της θεωρίας του για τη βαρύτητα και συγκεκριμένα στην ιδέα της γενικής συμμεταβλητότητας και στην ιδέα της κινηματικής ερμηνείας της βαρύτητας (την «αρχή της γενικής σχετικότητας» και στην «αρχή ισοδυναμίας»). Είναι φανερό ότι οι ιδέες αυτές τον βοήθησαν να διατυπώσει τη θεωρία του για τη βαρύτητα. Η ευρηματική αξία τους είναι αναμφίβολη. Ποια είναι όμως η αληθινή θέση των ιδεών στη θεωρία της βαρύτητας;

Η απαίτηση για γενική συμμεταβλητότητα είναι ίσως μια νύξη ή μια ένδειξη του ότι είναι πάντοτε δυνατόν να θεωρούμε κάποιο καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων (ή μια τάξη συστημάτων) σαν προνομιούχο και ότι μπορούν να εμφανισθούν περιπτώσεις (όπως στο κοσμολογικό πρόβλημα) όπου η απροσδιοριστία στο σύστημα συντεταγμένων είναι ουσιαστική. Όσο για την αρχή της ισοδυναμίας, μπορεί να περιέχει μιαν ένδειξη για την ανάγκη αναζήτησης της λύσης του προβλήματος της βαρύτητας σε χρονογεωμετρικές θεωρήσεις. Ίσως οι νύξεις αυτές να έπαιζαν ρόλο στους συλλογισμούς που οδήγησαν τον Einstein στη θεωρία του. Αλλά πιο ουσιαστική για τον Einstein ήταν η πεποίθηση, ότι αν μια φυσική θεωρία πρόκειται να είναι αληθινή, αν εκφράζει αληθινούς νόμους της φύσης, τότε πρέπει να έχει και μαθηματική τελειότητα και κομψότητα. Η θεωρία της βαρύτητας του Einstein ικανοποιεί την αισθητική αυτή απαίτηση με λαμπρό τόπο και την υποστηρίζει.

Μπορούμε τώρα να εκθέσουμε σύντομα τις ιδέες και τις αρχές, που πραγματικά συνιστούν το θεμέλιο της θεωρίας της βαρύτητας του Einstein. Στην πρώτη θέση έχουμε τη χρονογεωμετρική αντίληψη, δηλαδή την ενοποίηση του χώρου και του χρόνου σε μια τετραδιάστατη πολλαπλότητα, με ακαθόριστη μετρική. (Η ιδέα αυτή βρήκε επίσης την έκφρασή της στη θεωρία της σχετικότητας του 1905.) Έπειτα έχουμε την ιδέα της μεταβλητότητας της μετρικής, την απόρριψη του αξιώματος της άκαμπτης μετρικής. Μια νύξη γι΄ αυτό μπορεί να βρεθεί στο έργο του Riemann, αλλά μόνο ο Einstein πέτυχε μια ποσοτική διατύπωση αυτής της ιδέας.

Σύμφωνα με τη θεωρία του Einstein, η μετρική εξαρτάται από τις φυσικές διεργασίες στο χώρο και στο χρόνο και ειδικά από την κατανομή και την κίνηση των μαζικών σωμάτων, τα οποία υπόκεινται στις δυνάμεις της βαρύτητας. Το λαμπρό επίτευγμα του Einstein συνίσταται στο ότι αποκατάστησε την ενότητα της μετρικής και της βαρύτητας. Η ενότητα αυτή εκφράζεται τυπικά με το αξίωμα ότι, τόσο η μετρική, όσο και η βαρύτητα εκφράζονται με το ίδιο σύνολο ποσοτήτων –το μετρικό τανυστή. Η σύνδεση ανάμεσα στο μετρικό τανυστή και στην κατανομή των μαζών (τον τανυστή ορμής – ενέργειας) δίνεται από τις γνωστές εξισώσεις της βαρύτητας του Einstein, που πρέπει να θεωρηθούν σαν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης διάνοιας.

Μπορούμε λοιπόν να δούμε τη θεωρία του Einstein σαν έκφραση της αρχής της ενότητας ανάμεσα στη μετρική και στη βαρύτητα. Όσο για τις αρχές τις σχετικότητας και της ισοδυναμίας, είναι, το πολύ, χρήσιμες νύξεις, που υποδείχνουν πιθανούς δρόμους για τη θεωρία.

Επιστρέφουμε τώρα στο ζήτημα της φυσικής σχετικότητας. Είναι φανερό (και το εκθέσαμε προηγούμενα) ότι η φυσική σχετικότητα δεν μπορεί να είναι γενική. Αλλά ακόμα και στη θεωρία της βαρύτητας του Einstein, η οποία λειτουργεί με μη ομοιόμορφο χωροχρόνο, η φυσική σχετικότητα, όπως εκφράζεται από τους μετασχηματισμούς του Lorentz, είναι ακόμα δυνατή σε μερικές περιπτώσεις. Αυτό οφείλεται στην απόρριψη του αξιώματος της άκαμπτης μετρικής. Για μια άκαμπτη μετρική η φυσική σχετικότητα είναι δυνατή μόνο σε επίπεδο χώρο (ή σε χώρο με σταθερή καμπυλότητα). Στην περίπτωση μεταβλητής μετρικής, η κατάσταση είναι διαφορετική. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν μετασχηματισμοί συντεταγμένων που αντιστοιχούν στην κίνηση με βάση τη φυσική σχετικότητα, μια και η αλλαγή στο μετρικό τανυστή, που προκύπτει από τέτοιους μετασχηματισμούς, μπορεί να αντισταθμιστεί με μια προσαρμογή των φυσικών συνθηκών.

Για να πάρουμε ένα απλό παράδειγμα μιας τέτοιας προσαρμογής, ας θεωρήσουμε δυό εργαστήρια στην επιφάνεια της Γης. Εκεί ο χώρος δεν είναι ισότροπος: οφείλει κανείς να διακρίνει ανάμεσα στις δυό διευθύνσεις «πάνω» και «κάτω». Έτσι, αν βάλουμε το ένα εργαστήριο με το πάτωμα προς τα πάνω, οι συνθήκες στο εσωτερικό του θα αλλάξουν ολοκληρωτικά. Αλλά αν μεταφέρουμε προσεκτικά το εργαστήριο αυτό στους αντίποδες, τότε οι φυσικές συνθήκες στο εσωτερικό του θα είναι ακριβώς οι ίδιες με εκείνες του εργαστηρίου που διατήρησε την αρχική του θέση, παρά το γεγονός ότι το δεύτερο αυτό εργαστήριο είναι τώρα αντιπαράλληλο σε σχέση με το πρώτο. Συνεπώς η φυσική αρχή της σχετικότητας, σε σχέση με τη στροφή των αξόνων, ισχύει ακόμα.

Στην περίπτωση μιας κατανομής των μαζών σε νησίδες, όπως η κατανομή στο ηλιακό σύστημα, η φυσική σχετικότητα υπάρχει πάντα. Εκφράζεται απλούστερα με βάση τις αρμονικές συντεταγμένες, που μπορούν να εισαχθούν σ΄ αυτή την περίπτωση. Οι αρμονικές συντεταγμένες ορίζονται με τη βοήθεια της κυματικής εξίσωσης με οριακές συνθήκες στο άπειρο (ευκλείδειος χαρακτήρας του χώρου και απουσία εισερχόμενων κυμάτων). Η σύνδεση ανάμεσα σε δυό συστήματα αναφοράς, για τα οποία ισχύει η αρχή της φυσικής σχετικότητας, εκφράζεται με μια γραμμική σχέση (συγκεκριμένα, με ένα μετασχηματισμό Lorentz) ανάμεσα στις αρμονικές συντεταγμένες (ο μετασχηματισμός πρέπει να συνοδεύεται από μια κατάλληλη αλλαγή στην κατανομή των μαζών).

Οι αρμονικές συντεταγμένες μπορεί να θεωρηθούν σαν προνομιακές, με την έννοια ότι είναι οι μόνες, για τις οποίες η φυσική σχετικότητα εκφράζεται με γραμμικούς μετασχηματισμούς. Δεν είναι βέβαια περισσότερο (αλλά ούτε και λιγότερο) προνομιούχες από τις συντεταγμένες του Γαλιλαίου στη λεγόμενη ειδική θεωρία της σχετικότητας, των οποίων είναι το πλησιέστερο ανάλογο. Από πρακτική άποψη είναι περισσότερο βολικές, μια και η χρησιμοποίησή τους διευκολύνει αφάνταστα τους υπολογισμούς.

Όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, για να υπάρχουν οι αρμονικές συντεταγμένες, θα πρέπει να ισχύουν ειδικές συνθήκες όσον αφορά την κατανομή των μαζών. Είναι ωστόσο δυνατές ιδανικές περιπτώσεις (όπως η περίπτωση του χώρου του Friedmann), όταν ορισμένα συστήματα συντεταγμένων διακρίνονται από άλλα, χάρη στις ειδικές ιδιότητές τους.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ύπαρξη αρμονικών συντεταγμένων είναι ένα ολοκληρωτικό (σε αντιπαραβολή με το τοπικό) χαρακτηριστικό του χωρόχρονου. Για να τις έχουμε, πρέπει να ολοκληρωθούν διαφορικές εξισώσεις με οριακές συνθήκες. Σε σχέση μ΄ αυτό μπορεί να γίνει μια γενική παρατήρηση, δηλαδή, ότι τα ολοκληρωτικά χαρακτηριστικά δεν είναι λιγότερο σπουδαία από τα τυπικά (δηλ. απ΄ αυτά που ισχύουν σε μια απειροστή περιοχή, ή που έχουν τη μορφή διαφορικών εξισώσεων). Ακόμη, δεν θα ήταν ορθό να δεχτούμε ότι όλοι οι φυσικοί νόμοι μπορούν να αναχθούν σε τανυστικές σχέσεις.

Συμπερασματικά, θα ήθελα να τονίσω, με όλη τη δυνατή έμφαση, ότι μια ελεύθερη και χωρίς προκαταλήψεις κριτική της ωραίας χρονογεωμετρικής θεωρίας της βαρύτητας, που δημιουργήθηκε από τον Einstein, μπορεί να συμβάλει σε μια αποσαφήνιση των αρχών της, και δεν εισάγει οποιαδήποτε αμφιβολία ως προς την ισχύ της. Ελπίζω λοιπόν ότι ο κριτικός χαρακτήρας του κειμένου μου δεν θα ερμηνευθεί σαν ένα είδος μη-αποδοχής της θεωρίας του Einstein, ή σαν υποτίμηση των επιτευγμάτων του. Ο Einstein είναι αναμφισβήτητα ένα από τα μεγαλύτερα επιστημονικά πνεύματα στην ιστορία της ανθρωπότητας και η θεωρία του για τη βαρύτητα είναι το μεγαλύτερο επίτευγμά του.

Μετάφραση: Γ. Λογοθέτης

* Το κείμενο αυτό παρουσιάστηκε σε ένα σεμινάριο που έγινε στο Institut Poincaré το 1966. Δόθηκε στον κ. Ε. Μπιτσάκη για δημοσίευση στο περιοδικό «Σύγχρονα θέματα» που όμως αναγκάστηκε να διακόψει την έκδοσή του με την επέλευση της δικτατορίας. Δημοσιεύεται λοιπόν εδώ «εξ επαγωγής» με την άδεια του συγγραφέα. Τίτλος του πρωτότυπου: General Principles of Einstein’ s Gravitation Theory.

Πηγή: Περιοδικό «Δευκαλίων», τόμ. 6, αρ. 20 (1977)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.